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diff --git a/la1blatt6.typ b/la1blatt6.typ new file mode 100644 index 0000000..80881d2 --- /dev/null +++ b/la1blatt6.typ @@ -0,0 +1,130 @@ +#let blatt=3 +#set text(lang: "de") +#set page( + paper: "a4", + numbering: "— 1 —", + header: + grid(columns: (1fr,1fr,1fr), + [Linnea Gräf / 8249968 \ Ziyang Zhang / 7998470], + align(center, [*Blatt #blatt*]), + align(right, [Lineare Algebra 1 / Schröder]) + ) + line(length: 100%)) + + + +#let falls=$"falls" quad$ +#let sonst=$"sonst"$ +#set document(title: "Übungsblatt "+str(blatt)) +#let aufg(aufg) = [== Aufgabe #blatt.#aufg] +#let lösg = [=== Lösung] +#let ij=$i j$ +#let ji=$j i$ + +#align(center, [ + = #title() + Bearbeitet von Linnea Gräf +]) + +#aufg[1.a Vandermonde Matrix] + +Beweis via Induktion über $n$. + +*Induktionsanfang* (für $n=1$): $det(V) = mat(1) = 1 = Pi_(1 <= i < j <= n) (a_j-a_i)$. (Via vakuoser multiplikativer Identität) + +*Induktionsschritt* ($n ==> n + 1$): $V := mat(1, 1, ..., 1; a_1, a_2, ..., a_n; a_1^2, a_2^2, ..., a_n^2; dots.v, dots.v, dots.down, dots.v; a_1^(n-1), a_2^(n-1), ..., a_n^(n-1))$. +Wir können jede Zeile (außer der ersten) von der vorherigen abziehen, und erhalten somit: $V'_ij = cases(V_ij& falls i = 1,V_ij - a_1 V_(i-1 j)&sonst),$ +$ V'= mat(1, 1, ..., 1; a_1-1a_1, a_2-1a_1, ..., a_n-1a_1; a_1^2-a_1a_1, a_2^2 - a_2a_1, ..., a_n^2-a_n a_1; dots.v, dots.v, dots.down, dots.v; a_1^(n-1)-a_1^(n-2)a_1, a_2^(n-1)-a_2^(n-2)a_1, ..., a_n^(n-1)-a_n^(n-2)a_1) = mat(1, 1, ..., 1; 0, a_2-a_1, ..., a_n-a_1; 0, a_2(a_2 - a_1), ..., a_n (a_n- a_1); dots.v, dots.v, dots.down, dots.v; 0, a_2^(n-2) (a_2-a_1), ..., a_n^(n-2)(a_n-a_1)) $ + +Da wir hierbei nur Zeilen von einander abgezogen haben, ist $det(V)=det(V')=det(V'')$, wobei $V''$ alles außer der ersten Zeile und Spalte ist (via Laplace Entwicklung). In $V''$ hat die $i$te Spalte den Faktor $a_(i+1) - a_1$ (das extra $+1$ folgt da die Erste Spalte ja bei der Laplace Entwicklung entfernt wurde), wir können diese Faktoren aus der Determinante ziehen und erhalten dementsprechend $det(V) = det(V'') = (a_2-a_1)(a_3-a_1)dots(a_n-a_1) det mat(1,1,dots,1;a_2,a_3,dots,a_n;dots.v,dots.v,dots.down,dots.v;a_2^(n-2),a_3^(n-2), dots, a_n^(n-2))$. Diese Determinante ist wieder eine (um $1$ kleinere) Vandermonde matrix, also können wir unsere Induktionsvoraussetzung anwenden. Hierbei passiert ein Indexwechsel, da die Indizes bei $2$ starten. Dementsprechend erhalten wir $ det(V)=det(V'')=(a_2-a_1)(a_3-a_1)dots(a_n-a_1) Pi_(2<=i<j<=n) (a_j-a_i) = Pi_(1<= i<j<=n) (a_j-a_i) quad square $ + + +#aufg[1.b] + +$V$ ist invertierbar wenn $det(V)!=0$. Das ist genau der Fakt wenn jeder Faktor der Derterminate $(a_j-a_i) != 0$ ist. Das bedeutet $a_i$ und $a_j$ müssen paarweise verschieden sein. + +#aufg[2.a] + +Wir ziehen zuerst die letzte Spalte viermal von der ersten ab, dann die entwickeln wir nach der ersten Zeile. + +$ det mat(4,-2,5;0,-1,-3;1,2,4) +&= det mat(0, -2-8, 5-16;0,-1,-3;1,2,4)\ +&= det mat(-10,-11;-1,-3)\ +&= (-10)(-3)-(-1)(-11)\ +&= 30 - 11 = 19 +$ + + +#aufg[2.b] +#let Adj="Adj" + +$Adj(A)=mat(2,18,11;-3,11,12;1,-10,-4)$ + +#aufg[2.c] + +Da $det(A)=10!=0$ ist $A$ invertierbar. Laut der Cramerschen Regel ist $ A^(-1) = 1/(det A) Adj(A)= 1/19 mat(2,18,11;-3,11,12;1,-10,-4)=mat(2/19,18/19,11/19;-3/19,11/19,12/10;1/19,-10/19,-4/19). $ + +#aufg[3.a $Adj(c A) = c^(n-1) Adj(A)$] + +Die $Adj(c A)_ij = (-1)^(i+j) M_ji (c A)$, wobei $M_ij (A)$ die Determinante der Untermatrix von $A$ ohne die $i$te Zeile und $j$te Spalte ist. Da $det(c A) = c^n det(A)$ ist, können wir den Faktor aus dem Minor ziehen: $ Adj(c A)_ij =(-1)^(i+j) M_ji (c A) =c^(n-1) (-1)^(i+j) M_ji(A) = c^(n-1) Adj(A)_ij. $ + +#aufg[3.b $Adj(A^T) = Adj(A)^T$] + +Wir betrachten den $ij$-ten Eintrag der Adjunkten: $Adj(A^T)_ij = (-1)^(i+j) M_ji (A^T)$. Da das Transponieren einer Matrix die Determinante nicht ändert und beim transponieren auch der Index der entfernten Zeile und Spalte vertauscht werden, gilt: +$ Adj(A^T)_ij = (-1)^(i+j) M_ij (A^T) = (-1)^(i+j) M_ij (A) = Adj(A)_ji = (Adj(A)^T)_ij $ + +#aufg[3.c $Adj(A B) = Adj(B) Adj(A)$] + +Aus der Cramerschen Regel wissen wir, dass $A^(-1) = 1/(det A) Adj(A)$ für invertierbare Matrizen $A$. Daraus folgt $Adj(A) = det(A) A^(-1)$. Für zwei invertierbare Matrizen $A$ und $B$ gilt: +$ Adj(A B) &= det(A B) (A B)^(-1) \ +&= det(A) det(B) B^(-1) A^(-1) \ +&= det(B) B^(-1) dot det(A) A^(-1) \ +&= Adj(B) Adj(A) $ + +#aufg[3.d $det(Adj(A)) = det(A)^(n-1)$] + +Aus $A^(-1) = 1/(det A) Adj(A)$ folgt $Adj(A) = det(A) A^(-1)$. Determinante auf beiden Seiten anwenden: +$ det(Adj(A)) &= det(det(A) A^(-1)) \ +&= det(A)^n det(A^(-1)) \ +&= det(A)^n dot 1/(det(A)) \ +&= det(A)^(n-1) $ + +#aufg[3.e $Adj(Adj(A)) = det(A)^(n-2)A$] + +Aus $Adj(A) = det(A) A^(-1)$ folgt: +$ Adj(Adj(A)) &= det(Adj(A)) (Adj(A))^(-1) \ +&= det(A)^(n-1) (det(A) A^(-1))^(-1) \ +&= det(A)^(n-1) dot 1/(det(A)) (A^(-1))^(-1) \ +&= det(A)^(n-2) A $ + +#aufg[3.f $Adj(A)^(-1) = Adj(A^(-1))$] + +Aus $Adj(A) = det(A) A^(-1)$ gilt äquivalent $Adj(A^(-1)) = det(A^(-1)) (A^(-1))^(-1) = 1/(det(A)) A$: +$ Adj(A)^(-1) &= (det(A) A^(-1))^(-1) \ +&= 1/(det(A)) (A^(-1))^(-1) \ +&= 1/(det(A)) A \ +&= Adj(A^(-1)) $ + +#aufg[4.a] + +Es gibt keine Linksidentität: $m(e, a) = a <==> e-a=a$. Wenn ich jetzt für $a=1,2$ einsetze, dann nimmt $e$ jeweils $2,4$ als Wert an, also gibt es keine eindeutige Linksidentität, also kann es keine Linksidentität geben, ergo keine Gruppe. + +#aufg[4.b] + +$m(0,m(0,1)) = 4 != 2 = m(m(0,0),1)$, keine Assoziativität, ergo keine Gruppe. + + +#aufg[4.c] + +Es gibt keine Linksidentität: $m(e, a) = a <==> e = a$. Ich kann wieder für $a=1,2$ einsetzen, erhalte für $e$ dann wieder $1,2$, also keine eindeutige Linksidentität, also keine Linksidentität, also keine Gruppe. + +#aufg[4.d] + +Das neutrale Element ist höchstens $e=1$ ($e dot a = a$). Es gibt kein $2 dot x = 1$ mit $x in ZZ$. Dementsprechend hat $2 in ZZ$ kein inverses Element, also keine Gruppe. + +#aufg[4.e] + +Es gibt kein neutrales Element für negative Zahlen. $sqrt(dot)$ gibt immer den principal branch, also einen Wert $m(a,b) = sqrt(x) >= 0$. + + + + |